۸. ۳. ۶. ۵. الف) نشان دهید که مجموع زاویه‌های داخلی یک $n$-ضلعی محدب مساوی با $n-2$ برابرِ مجموع زاویه‌های یک مثلث است.
ب) چرا با افزایش تعداد اضلاع چندضلعی منتظم، اندازه زاویه‌های داخلی آن بیشتر می‌شود؟
ج) چرا اگر $n$ عددی بزرگ‌تر از شش باشد، با $n$-ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد؟
د) چرا با پنج‌ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد؟
هـ) ثابت کنید که فقط سه نوع چند‌ضلعی منتظم هستند که با آنها می‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد.

راهنمای حل

الف) یکی از رأس‌های $n$-ضلعی محدب را انتخاب می‌کنیم و آن را $A$ می‌نامیم. همهٔ قطرهایی را که یک‌ سرِ آنها نقطهٔ $A$ است، رسم می‌کنیم. دراین‌صورت، $n$-ضلعی محدب به $n-2$ مثلث تقسیم می‌شود. چون مجموع زاویه‌های هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است، پس مجموع زاویه‌های هر $n$-ضلعی محدب برابر است با:
\[\begin{aligned}(n-2)\times 180^\circ.\end{aligned}\]

ب) باتوجه‌به فرمولی که در قسمت «الف» به‌دست آمد، اندازهٔ هر زاویهٔ یک $n$-ضلعی منتظم برابر است با:
\[\begin{aligned}\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}&=\frac{n\times 180^\circ-360^\circ}{n}\\&=\frac{n\times 180^\circ}{n}-\frac{360^\circ}{n}\\&=180^\circ-\frac{360^\circ}{n}.\end{aligned}\]
واضح است که هر چقدر $n$ بزرگ‌تر شود، $\frac{360^\circ}{n}$ کوچک‌تر می‌شود و در نتیجه حاصل عبارتِ
\[180^\circ-\frac{360^\circ}{n}\]
بزرگ‌تر می‌شود.

ج) از تعریف کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع و کاشی‌کاری تک‌وجهی نتیجه می‌شود که در یک کاشی‌کاریِ ضلع‌به‌ضلعِ تک‌وجهی، هر رأس بین حداقل سه کاشی مشترک است. بنابراین زاویهٔ چندضلعی منتظم حداکثر می‌تواند برابر با:
\[\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\]
باشد. هریک از زاویه‌های یک شش‌ضلعی منتظم ۱۲۰ درجه است(؟). از طرفی بنابه قسمت «ب» می‌دانیم اندازه‌ٔ زاویه‌های یک $n$-ضلعی منتظم، برای $n>6$، بیشتر از ۱۲۰ درجه است. پس اگر $n>6$، آنگاه با $n$-ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد.

د) هر زاویهٔ یک پنج‌ضلعی منتظم برابر ۱۰۸ درجه است(؟). از تعریف کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع و کاشی‌کاری تک‌وجهی نتیجه می‌شود که در یک کاشی‌کاریِ ضلع‌به‌ضلعِ تک‌وجهی، هر رأس بین حداقل سه کاشی مشترک است. چون:
\[108\times 3<360<108\times 4,\]
پس با پنج‌ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد.

هـ) با مثلث، مربع، و شش‌ضلعی منتظم می‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد.

در قسمت «ج» ثابت شد که اگر $n>6$، آنگاه با $n$-ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد. در قسمت «ج» تمرین ۸. ۳. ۶. ۱ کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی با شش‌ضلعی منتظم نشان داده شده است. در تمرین ۸. ۳. ۶. ۸ ثابت می‌شود که با هر مثلث می‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد. در تمرین ۸. ۳. ۶. ۹ ثابت می‌شود که با هر چهارضلعی می‌توان کاشی‌کاری ضلع‌به‌ضلع تک‌وجهی کرد.