۹. ۵. ۷. ۱۸. اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند، آیا $x^4+ax^2+b$ همیشه با استفاده از اتحاد مربع دوجمله‌ای و اتحاد مزدوج، تجزیه می‌شود؟


راهنمای حل

بله!

می‌دانیم:
\[\begin{aligned}x^4+ax^2+b=\Big(x^2+\frac{a}{2}\Big)^2-\frac{a^2}{4}+b.\end{aligned}\]
دو حالت برای $-\frac{a^2}{4}+b$ در نظر می‌گیریم:
حالت اول.
\[-\frac{a^2}{4}+b\leq0\Rightarrow \frac{a^2}{4}-b\geq0.\quad (1)\]
بنابراین:
\[\begin{aligned}&x^4+ax^2+b\\&=\Big(x^2+\frac{a}{2}+\frac{a^2}{4}-b\Big)\Big(x^2+\frac{a}{2}-\frac{a^2}{4}+b\Big).\end{aligned}\]
(چرا؟)

حالت دوم.
\[-\frac{a^2}{4}+b>0\Rightarrow a^2<4b.\]
چون $a$ عددی حقیقی است، پس $a^2$ همواره نامنفی است. بنابراین:
\[0\leq a^2<4b\Rightarrow b>0.\quad (2)\]
از طرفی، داریم:
\[\begin{aligned}a^2<4b&\Rightarrow\sqrt{a^2}<\sqrt{4b}\\&\Rightarrow |a|<2\sqrt{b}\\&\Rightarrow a<2\sqrt{b}\\&\Rightarrow 2\sqrt{b}-a>0.\quad (3)\end{aligned}\]

پس:
\[\begin{aligned}&x^4+ax^2+b\\&=\left(x^2+\sqrt{b}+\sqrt{2\sqrt{b}-a}\;x\right)\left(x^2+\sqrt{b}-\sqrt{2\sqrt{b}-a}\;x\right).\end{aligned}\]
(چرا؟)


پرسش. آیا می‌توان چندجمله‌ای‌های درجه $2$‌ای را که در تجزیهٔ $x^4+ax^2+b$ به‌دست آمده‌اند، تجزیه کرد؟


 

2
دیدگاه بگذارید

avatar
1 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
Takmilin.s Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
n.s
Guest
n.s

سلام ببخشید برای حالت دوم اگه b منفی باشه که نمیشه چون رادیکال منفی نداریم ممنون میشم توضیح بدید

Takmili
Admin

سلام.
در رابطهٔ $(3)$ ثابت شده است که عبارت زیر رادیکال، مثبت است.