۹. ۵. ۸. ۷. فرض کنید $k$ عددی طبیعی باشد. ثابت کنید برای هر مقدار $k$، اگر حاصل‌ضرب هر دو عضو متمایز مجموعهٔ زیر را با یک جمع بزنیم، حاصلْ مربع کامل است.
\[\big\{k,k+2,4k+4,16k^3+48k^2+44k+12\big\}\]


راهنمای حل

\[\begin{aligned}&k(k+2)+1&\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&k(4k+4)+1\\&=4k^2+4k+1\\&=(2k+1)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&k(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=16k^4+{\color{blue}48k^3}+{\color{green}44k^2}+{\color{orange}12k}+1\\&=16k^4+{\color{blue}24k^3+24k^3}+{\color{green}4k^2+36k^2+4k^2}+{\color{orange}6k+6k}+1\\&=\big(16k^4+24k^3+4k^2\big)+\big(24k^3+36k^2+6k\big)+\big(4k^2+6k+1\big)\\&={\color{red}4k^2}\big(4k^2+6k+1\big)+{\color{red}6k}\big(4k^2+6k+1\big)+{\color{red}1}\big(4k^2+6k+1\big)\\&=\big(4k^2+6k+1\big){\color{red}\big(4k^2+6k+1\big)}\\&=\big(4k^2+6k+1\big)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(k+2)(4k+4)+1\\&=k(4k+4)+2(4k+4)+1\\&=4k^2+4k+8k+8+1\\&=4k^2+12k+9\\&=(2k+3)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(k+2)(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=k(16k^3+48k^2+44k+12)+2(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=16k^4+48k^3+44k^2+12k+32k^3+96k^2+88k+24+1\\&=16k^4+{\color{blue}80k^3}+{\color{green}140k^2}+{\color{orange}100k}+25\\&=16k^4+{\color{blue}40k^3+40k^3}+{\color{green}20k^2+100k^2+20k^2}+{\color{orange}50k+50k}+25\\&=\big(16k^2+40k^3+20k^2\big)+\big(40k^3+100k^2+50k\big)+\big(20k^2+50k+25\big)\\&={\color{red}4k^2}\big(4k^2+10k+5\big)+{\color{red}10k}\big(4k^2+10k+5\big)+{\color{red}5}\big(4k^2+10k+5\big)\\&=\big(4k^2+10k+5\big){\color{red}\big(4k^2+10k+5\big)}\\&=\big(4k^2+10k+5\big)^2\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(4k+4)(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=4k(16k^3+48k^2+44k+12)+4(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=64k^4+192k^3+176k^2+48k+64k^3+192k^2+176k+48+1\\&=64k^4+{\color{blue}256k^3}+{\color{green}368k^2}+{\color{orange}224k}+49\\&=64k^4+{\color{blue}128k^3+128k^3}+{\color{green}56k^2+256k^2+56k^2}+{\color{orange}112k+112k}+49\\&=\big(64k^4+128k^3+56k^2\big)+\big(128k^3+256k^2+112k\big)+\big(56k^2+112k+49\big)\\&={\color{red}8k^2}\big(8k^2+16k+7\big)+{\color{red}16}\big(8k^2+16k+7\big)+{\color{red}7}\big(8k^2+16k+7\big)\\&=\big(8k^2+16k+7\big){\color{red}\big(8k^2+16k+7\big)}\\&=\big(8k^2+16k+7\big)^2.\end{aligned}\]

4
دیدگاه بگذارید

avatar
2 Comment threads
2 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
3 Comment authors
Takmiliمهراندوامیر Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
مهراندو
Guest
مهراندو

قسمت چهارم ۱۶kبه توان چهاره لطفا اصلاح کنید

Takmili
Admin

مرسی. اصلاح شد.

امیر
Guest
امیر

قسمت چهارم (k+2)(4k+4) هست
لطفا اصلاح کنید.

Takmili
Admin

اصلاح شد.
لطفاً دوباره بررسی کنید.