۹. ۵. ۸. ۷. فرض کنید $k$ عددی طبیعی باشد. ثابت کنید برای هر مقدار $k$، اگر حاصل‌ضرب هر دو عضو متمایز مجموعهٔ زیر را با یک جمع بزنیم، حاصلْ مربع کامل است.
\[\big\{k,k+2,4k+4,16k^3+48k^2+44k+12\big\}\]


راهنمای حل

\[\begin{aligned}&k(k+2)+1&\\&=k^2+2k+1\\&=(k+1)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&k(4k+4)+1\\&=4k^2+4k+1\\&=(2k+1)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&k(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=16k^4+{\color{blue}48k^3}+{\color{green}44k^2}+{\color{orange}12k}+1\\&=16k^4+{\color{blue}24k^3+24k^3}+{\color{green}4k^2+36k^2+4k^2}+{\color{orange}6k+6k}+1\\&=\big(16k^4+24k^3+4k^2\big)+\big(24k^3+36k^2+6k\big)+\big(4k^2+6k+1\big)\\&={\color{red}4k^2}\big(4k^2+6k+1\big)+{\color{red}6k}\big(4k^2+6k+1\big)+{\color{red}1}\big(4k^2+6k+1\big)\\&=\big(4k^2+6k+1\big){\color{red}\big(4k^2+6k+1\big)}\\&=\big(4k^2+6k+1\big)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(k+2)(4k+4)+1\\&=k(4k+4)+2(4k+4)+1\\&=4k^2+4k+8k+8+1\\&=4k^2+12k+9\\&=(2k+3)^2.\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(k+2)(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=k(16k^3+48k^2+44k+12)+2(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=16k^4+48k^3+44k^2+12k+32k^3+96k^2+88k+24+1\\&=16k^4+{\color{blue}80k^3}+{\color{green}140k^2}+{\color{orange}100k}+25\\&=16k^2+{\color{blue}40k^3+40k^3}+{\color{green}20k^2+100k^2+20k^2}+{\color{orange}50k+50k}+25\\&=\big(16k^2+40k^3+20k^2\big)+\big(40k^3+100k^2+50k\big)+\big(20k^2+50k+25\big)\\&={\color{red}4k^2}\big(4k^2+10k+5\big)+{\color{red}10k}\big(4k^2+10k+5\big)+{\color{red}5}\big(4k^2+10k+5\big)\\&=\big(4k^2+10k+5\big){\color{red}\big(4k^2+10k+5\big)}\\&=\big(4k^2+10k+5\big)^2\end{aligned}\]


\[\begin{aligned}&(4k+4)(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=4k(16k^3+48k^2+44k+12)+4(16k^3+48k^2+44k+12)+1\\&=64k^4+192k^3+176k^2+48k+64k^3+192k^2+176k+48+1\\&=64k^4+{\color{blue}256k^3}+{\color{green}368k^2}+{\color{orange}224k}+49\\&=64k^4+{\color{blue}128k^3+128k^3}+{\color{green}56k^2+256k^2+56k^2}+{\color{orange}112k+112k}+49\\&=\big(64k^4+128k^3+56k^2\big)+\big(128k^3+256k^2+112k\big)+\big(56k^2+112k+49\big)\\&={\color{red}8k^2}\big(8k^2+16k+7\big)+{\color{red}16}\big(8k^2+16k+7\big)+{\color{red}7}\big(8k^2+16k+7\big)\\&=\big(8k^2+16k+7\big){\color{red}\big(8k^2+16k+7\big)}\\&=\big(8k^2+16k+7\big)^2.\end{aligned}\]

2
دیدگاه بگذارید

avatar
1 Comment threads
1 Thread replies
0 Followers
 
Most reacted comment
Hottest comment thread
2 Comment authors
Takmiliامیر Recent comment authors
  Subscribe  
newest oldest most voted
Notify of
امیر
Guest
امیر

قسمت چهارم (k+2)(4k+4) هست
لطفا اصلاح کنید.

Takmili
Admin

اصلاح شد.
لطفاً دوباره بررسی کنید.